学习笔记·Stewart《微积分》

(吐槽：为什么微积分教材一上来就在补习初等数学)

第1章 函数与模型

1.1 表示函数的四种方法

函数$f$是一个规则，按照它，集合$A$中的每一个元素$x$都恰好在集合$B$中有一个元素与之对应，称之为$f(x)$

• 定义域：集合$A$。

• 值域：当$x$在定义域里变化时，所有可能的$f(x)$的值组成的集合。

• 自变量：代表函数$f$的定义域里任意值的符号。

• 因变量：代表$f$值域里的一个值的符号。

观察一个函数的最普通的方法就是看它的图像，如果一个函数$f$的定义域是集合$A$，那么它的图像就是下列有序对的集合：

$$\{ (x,f(x)) \mid x \in A \}$$

• 函数图像给了一个表示函数行为或“生命历程”的很有用的画面。

函数的表示法

有四种方法来表示一个函数：

• 描述法：用语言来描述。

  • 从函数的文字描述中得出显式代数公式的技巧，在解决求变量最大最小值问题上很有用。

• 数值法：用函数值的列表。

  • 微积分的思想能够应用于数值法的表格，显式公式并非必须。

• 直观法：用函数图像。

• 代数法：用显式公式，如圆面积$A(r)=\pi r^2$

垂线测试 $xOy$平面内的一条曲线，当且仅当没有一条垂线与其相交一次一上时为函数图像

垂线测试能够用于判断$xOy$平面上什么样的曲线才是函数图像。

• 抛物线$x=y^2 - 2$不是$x$的函数的图像，因为有垂线两次穿过抛物线，它实际上是包含了两个$x$的函数的图像。

分段函数

• 分段函数：在定义域的不同部分用不同公式定义的函数，绝对值函数是典型的分段函数。

  • 从一个值跳到下一个值的分段函数叫作阶梯函数（详见第2章）。

对称

• 偶函数：偶函数$f$对其定义域里的每一个$x$都有$f(-x)=f(x)$，几何上图像关于$y$轴对称。

• 奇函数：奇函数$f$对其定义域里的每一个$x$都有$f(-x)=-f(x)$，几何上图像关于原点对称。

递增和递减函数

函数$f$称为在区间$I$上递增，如果当$x_1$和$x_2$在$I$上且$x_1<x_2$，则

$$f(x_1)<f(x_2)$$

函数$f$称为在区间$I$上递减，如果当$x_1$和$x_2$在$I$上且$x_1<x_2$，则

$$f(x_1)>f(x_2)$$

1.2 数学模型：基本函数导引

• 数学模型：对现实问题某种现象的数学描述（通常表达为函数或方程），建模的目的是理解这些现象，如果可能的话对系统未来的行为作一些预测。

数学建模的基本步骤：

1. 分析和确定自变量和因变量并为之命名、做一些假设使所研究的现象简化到数学上可以处理的程度，从而建立一个数学模型。

2. 将数学知识和工具应用到我们已经得到的数学模型，设法给出该数学问题的解答。

3. 将已经得到的数学上的结论，解释为原始的实际问题的信息，以此来说明现象或预测未来。

4. 通过新的数据测试预测结果，如果预测与现实吻合得不好，就需要修正模型或确立一个新的模型，并重新开始循环这个过程。

一个好的数学模型应该将现实问题简化到足以允许数学计算，但又精确到足以提供有价值的结论。

线性模型

• 线性函数：函数图像是一条直线的函数，可以用直线方程的斜率-截距形式表示：

  • $y=f(x)=mx+b$，其中$m$为斜率，$b$是$y$轴截距

  • 典型特征为以恒定的速度变化，斜率为变化速度。

如果没有自然规律或法则来帮助建立模型，那就构造一个经验模型，以收集到的数据为基础，寻找一条直观上能反映这些数据点基本趋势的曲线来“拟合”这些数据。

• 可以使用线性回归（详见14.7节）来优化线性模型。

多项式

• 多项式：多项式$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n+1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$，其中$n$为非负整数，$a_0$，$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$为常数，称为多项式的系数。

  • 任何多项式的定义域都是$\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$

  • 如果首项$a_n\ne0$，则多项式次数为$n$，例如函数$P(x)=2x^6-x^4+\frac25x^3+\sqrt2$为6次多项式。

  • 一次多项式具有形式$P(x)=mx+b$，所以是线性函数。

  • 二次多项式具有形式$P(x)=ax^2+bx+c$，称为二次函数。

  • 三次多项式具有形式$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，称为三次函数

多项式被普遍运用在自然和社会科学中变量的建模上。

幂函数

• 幂函数：形式如$f(x)=x^a$的函数，其中$a$为常数。常考虑几种情形：

  1. $a=n$，其中$n$为正整数。

     $f(x)=x^n$的大体形状依赖于$n$是奇数还是偶数，如果$n$是偶数，则$f(x)=x^n$是偶函数，如果$n$是奇数，则$f(x)=x^n$是奇函数。

  2. $a=1/n$，其中$n$为正整数。

     函数$f(x)=x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$为根函数。

     $n=2$时为平方根函数$f(x)=\sqrt{x}$，定义域为$[0,+\infty)$，图像为抛物线$x=y^2$的上半部分，对于其他的偶数$n$，函数$y=\sqrt[n]{x}$图像与$y=\sqrt{x}$类似；

     $n=3$时为立方根函数$f(x)=\sqrt[3]{x}$，定义域为$\mathbb{R}$，当$n$为奇数（$n>3$）时的图像与$y=\sqrt[3]{x}$类似。

  3. $a=-1$

     倒数函数$f(x)=x^{-1}=1/x$，图像为以坐标轴为渐近线的双曲线，方程为$y=1/x$或$xy=1$

有理函数

• 有理函数：两个多项式的比，有理函数$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P$和$Q$为多项式，定义域由所有使$Q(x)\ne0$的$x$组成。

  • 简单的例子为$f(x)=1/x$

代数函数

• 代数函数：能从多项式出发由代数运算（如四元运算和平方根）构成的函数，任何有理函数都是代数函数。

相对论中出现了一个代数函数的例子：速率为$v$的质点质量为

$$m=f(v)=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

其中$m_0$为质点的静止质量，$c=3.0\times10^5$为真空中的光速。

该式实际为相对论性质量$m=\gamma m_0$，其中洛伦兹因子$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

三角函数

微积分中惯例以弧度做单位。

• 对于正弦和余弦函数，定义域都是$(-\infty,+\infty)$，值域都是闭区间$[-1,1]$，因此，对所有的$x$

$$-1 \le \sin x \le 1\text{，}-1 \le \cos x \le 1$$

• 正弦函数的零点出现在$\pi$的整数倍处，即：

$$\sin x = 0\text{，}x=n\pi \text{，n为整数}$$

• 正弦函数和余弦函数都是以$2\pi$为周期的周期函数，这意味着，对所有的$x$

$$\sin(x+2\pi)=\sin x\text{，}\cos(x+2\pi)=\cos x$$

这些函数的周期性使得它们适合用来为反复的现象建模，如潮流、弹簧振动和声波等。

• 正切函数通过$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$将正弦、余弦函数相关联。

  • 当$\cos x =0$，即$x=\pm\pi/2$，$\pm3\pi/2$，$\cdots$时没有定义，值域为$(-\infty,+\infty)$

  • 正切函数具有周期$\pi$：$\tan(x+\pi)=\tan x$

剩下三种三角函数（余割函数、正割函数、余切函数）为正弦、余弦和正切函数的倒数。

指数函数

• 指数函数：形如$f(x)=a^x$的函数，底数$a$为正的常数。定义域为$(-\infty,+\infty)$，值域为$(0,+\infty)$

这类函数在为许多自然现象建模时都很有用，比如人口增长（若$a>1$）和辐射性的衰退（若$a<1$）

对数函数

• 对数函数：对数函数$f(x)=\log_ax$为指数函数的反函数，其中底数$a$为正的常数。

  • 定义域为$(0,+\infty)$，值域为$(-\infty,+\infty)$，且当$x>1$时增长缓慢。

超越函数

一种非代数的函数，包含三角函数、反三角函数、指数函数和对数函数，以及大量未命名的其他函数。

1.3 从基本函数衍生新的函数

函数变换

首先来考虑平移：

垂直和水平移动 假设$c>0$，得到下列图像：

$y=f(x)+c$，将$y=f(x)$的图像向上移动$c$个单位的距离

$y=f(x)-c$，将$y=f(x)$的图像向下移动$c$个单位的距离

$y=f(x-c)$，将$y=f(x)$的图像向右移动$c$个单位的距离

$y=f(x+c)$，将$y=f(x)$的图像向左移动$c$个单位的距离

接着考虑拉伸和反射变换：

垂直和水平拉伸及反射 假设$c>0$，得到下列图像：

$y=cf(x)$，将$y=f(x)$的图像垂直拉伸$c$倍

$y=(1/c)f(x)$，将$y=f(x)$的图像水平压缩$c$倍

$y=f(cx)$，将$y=f(x)$的图像水平拉伸$c$倍

$y=f(x/c)$，将$y=f(x)$的图像水平压缩$c$倍

组合函数

通过类似实数之间的四元运算，两个函数$f$和$g$可以组合起来形成新的函数$f+g$，$f-g$，$fg$和$f/g$

函数的代数运算 令$f$和$g$分别为定义域是$A$和$B$的函数，则函数$f+g$，$f-g$，$fg$和$f/g$定义如下：

$$\begin{array}{ll} (f+g)(x)=f(x)+g(x)&\text{定义域为}A\cap B \\\\ (f-g)(x)=f(x)-g(x)&\text{定义域为}A \cap B \\\\ (fg)(x)=f(x)g(x)&\text{定义域为}A \cap B \\\\ (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}&\text{定义域为}\{x \mid x\in A \cap B,g(x)\ne0\} \end{array}$$

复合函数

定义 已知两个函数$f$和$g$，它们的复合函数$f\circ g$定义如下：

$$(f \circ g)(x)=f(g(x))$$

• $f\circ g$的定义域是$g$的定义域中所有使得$g(x)$在$f$的定义域中的$x$的值，也即只有当$g(x)$和$f(g(x))$都有定义的时候，$(f \circ g)(x)$才有定义。

• 一般地，$f \circ g \ne g \circ f$，符号$f\circ g$的意思是先对自变量$x$首先作用$g$，然后再作用$f$

• 求三个或三个以上函数的复合也是有可能的，比如复合函数$(f \circ g \circ h)(x)=f(g(h(x)))$

• 在微积分中，将一个复合函数分解为简单函数也很有用

1.4 图形计算器与计算机

内容过时，略

1.5 指数函数

• 指数函数：形如$f(x)=a^x$的函数，底数$a$为正的常数。定义域为$(-\infty,+\infty)$，值域为$(0,+\infty)$

若$x=n$为正整数，则

$$\begin{matrix}a^n =\underbrace{ a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}_{\text{n个}}\end{matrix}$$

若$x=0$，则$a^0=1$；若$x=-n$，其中$n$为正整数，则

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

若$x$为有理数$x=p/q$，其中$p$和$q$为整数且$q>0$，则

$$a^x=a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[q]{a})^p$$

• 取不同底数$a$的函数族$y=a^x$，注意到所有图像都过同一个点$(0,1)$，因为当$a\ne0$时$a^0=1$

指数函数基本上分为三类：

1. 若$0<a<1$，则指数函数递减。

2. 若$a=1$，它是一个常数。

3. 若$a>1$，则指数函数递增

观察指数函数图像，注意到：

• 若$a\ne0$，则指数函数$y=a^x$定义域为$\mathbb{R}$，值域为$(0,+\infty)$

• 因为$(1/a)^x=1/a^x=a^{-x}$，$y=(1/a)^x$的图像刚好是$y=a^x$关于y轴的对称图像

指数定律 若$a$和$b$为正数，$x$和$y$为实数，则

$$\begin{array}{ll} 1.\;a^{x+y}=a^xa^y&2.\;a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}\\\\ 3.\;(a^x)^y=a^{xy}&4.\;(ab)^x=a^xb^x \end{array}$$

指数函数的应用

• 指数函数在自然和社会现象的数学模型中出现得非常频繁。

  • 细菌数量增长：$p(t)=2^t\times1000=(1000)2^t$

  • 20世纪人口增长：$P=(0.008079266)\cdot(1.013731)^t$

常数e

在各种底数的指数函数中，有一种从微积分的角度看是最方便的，即自然常数$e\approx2.71828$

• 推导：选择底数$a$使得$y=a^x$在$(0,1)$点的切线恰好斜率为1。

• 符号由瑞士数学家欧拉在1927年选定，可能是因为它是“指数”exponential这个词的第一个字母。

1.6 反函数与对数函数

• 对于细菌数量$N$作为时间$t$的函数：$N=f(t)$，如果改变视角，将$t$看作$N$的函数，就能得到$f$的反函数$f^{-1}(N)$，读作“$f$逆”

单射函数：

① 定义 如果函数$f$从不两次取同样的函数值，则称为单射函数，即，

$$f(x_1) \ne f(x_2)\text{，只要}x_1 \ne x_2$$

有确认一个函数是不是单射的几何方法：

水平线判定

当且仅当没有水平直线和函数图像相交超过一次时，函数为单射函数

单射函数恰好是存在反函数的一类函数，因为：

② 定义    令$f$为定义域$A$、值域$B$的单射函数，则它的反函数$f^{-1}$定义域为$B$、值域为$A$，定义为

$$f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y$$

对任意的$y$属于$B$

这个定义说明，若$f$将$x$映到$y$，则$f^{-1}$将$y$映回到$x$，注意：

$$\begin{aligned}f^{-1}\text{定义域}=f\text{值域} \\ f^{-1}\text{值域}=f\text{定义域}\end{aligned}$$

• 提醒：$f^{-1}$不表示$\frac{1}{f(x)}$，$f(x)$倒数$1/f(x)$可以写成$[f(x)]^{-1}$

字母$x$通常情况下用于表示自变量，所以当考虑$f^{-1}$而非$f$时，将定义2中的$x$和$y$颠倒，写作：

③

$$f^{-1}(x)=y \iff f(y)=x$$

通过替换定义2中的$y$和③中的$x$，我们得到如下的相消等式：

④

$$\begin{array}{ll} f^{-1}(f(x))=x&\text{对每一个}x\text{属于}A\\\\ f(f^{-1}(x))=x&\text{对每一个}x\text{属于}B \end{array}$$

• 第一个相消等式是说如果从$x$出发，作用$f$，再作用$f^{-1}$，又会回到开始的$x$，这样，$f^{-1}$抵消了$f$的作用。

• 第二个相消等式说$f$抵消了$f^{-1}$的作用

举例说明：若$f(x)=x^3$，则$f^{-1}(x)=x^{1/3}$，从而相消等式变成

$$\begin{aligned}f^{-1}(f(x))=(x^3)^{1/3}=x \\\\ f(f^{-1}(x))=(x^{1/3})^3=x\end{aligned}$$

⑤ 如何找到单射函数$f$的反函数

第一步    写出$y=f(x)$

第二步    解这个关于$x$的方程，并用$y$表示$x$(如果可能)

第三步    为了将$f$表示为$x$的函数，将$x$和$y$互换，最终的方程为$y=f^{-1}(x)$

将$x$和$y$互换以得到反函数的这个法则，也给了我们从$f$的图像得到$f^{-1}$的图像的方法：

$f^{-1}$的图像可以通过将$f$的图像关于直线$y =x$对称得到

对数函数

• 指数函数$f(x)=a^x$为单射函数，具有反函数$f^{-1}$，称为以$a$为底数的对数函数，记作$\log_{a}$

若用③给出的反函数公式，则有：

⑥

$$\log_{a} x=y \iff a^y=x$$

• 因此，若$x>0$，$\log_{a} x$是使底数$a$变为$x$的指数，例如$\log_{10} 0.001=-3$，因为$10^{-3}=0.001$

相消等式③应用到$f(x)=a^x$和$f^{-1}(x)=\log_{a} x$上变为：

⑦

$$\begin{array}{ll} \log_{a}(a^x)=x&\text{对所有的}x\in\mathbb{R}\\\\ a^{\log_{a} x}=x&\text{对所有的}x>0 \end{array}$$

• 对数函数$\log_{a} x$具有定义域$(0,+\infty)$和值域$\mathbb{R}$，它的图像是$y=a^x$关于直线$y =x$的对称

对数函数下面的性质与节1.5给出的指数函数的性质相对应：

对数定律 若$x$和$y$为正数，则：

1. $\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$

2. $\log_{a}(\frac{x}{y})=\log_{a}x-\log_{a}y$

3. $\log_{a}(x^r)=r\log_{a}x$（其中$r$为任意数）

自然对数

在所有的对数底数$a$中，我们将在第3章看到最常见的就是在节1.5定义的数$e$，具有底数$e$的对数称为自然对数，有一个专门的记号

$$\log_{e}x=\ln x$$

若在⑥和⑦中令$a=e$并用“$\ln$”替换$\log_{e}$，则其定义的自然对数函数的性质就是

⑧

$$\ln x=y \iff e^y=x$$

⑨

$$\begin{array}{ll} \ln(e^x)=x&x\in \mathbb{R}\\\\ e^{\ln x}=x&x>0 \end{array}$$

特别的，若令$x=1$，则有

$$\ln e=1$$

下面的公式表明，任意底数的对数都可以表示成自然对数的形式：

⑩ 换底公式 对任意正数$a$（$a\ne1$），有

$$\log_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

反三角函数

三角函数不是单射，没有反函数，但可以通过限制定义域得到反函数。

• $y=\sin x$不是单射，但函数$f(x)=\sin x$，$-\pi /2 \le x \le \pi /2$是单射。

  • 这个限制的正弦函数$f$的反函数存在并记作$\sin^{-1}$或$\arcsin$，称为反正弦函数。

根据反函数的定义，有

$$\sin^{-1}x=y \iff \sin y=x \text{,}\;-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$$

• 因而，若$-1\le x \le 1$，$\sin^{-1}x$就是$-\pi /2$和$\pi /2$之间正弦为$x$的数

此情形下，反函数的相消等式变为

$$\begin{array}{lll} \sin^{-1}(\sin x)=x&\text{对}&-\frac{\pi}{2}\le x \le \frac{\pi}{2}\\\\ \sin(\sin^{-1}x)=x&\text{对}&-1\le x \le 1 \end{array}$$

• 反正弦函数$\sin^{-1}$具有定义域$[-1,1]$和值域$[-\pi /2,\pi /2]$，图像从限制的正弦函数图像关于直线$y =x$对称得到

反余弦函数也类似处理，被限制的余弦函数$f(x)=\cos x$，$0\le x \le \pi$是单射，故它有反函数，记作$\cos^{-1}$或$\arccos$

$$\cos^{-1}x=y \iff \cos y=x \text{,}\;0\le y \le \pi$$

相消等式为

$$\begin{array}{lll} \cos^{-1}(\cos x)=x&\text{对}&0\le x \le \pi\\\\ \cos(\cos^{-1}x)=x&\text{对}&-1\le x \le 1 \end{array}$$

• 反余弦函数$\cos^{-1}$具有定义域$[-1,1]$和值域$[0,\pi]$，图像从限制的余弦函数图像关于直线$y =x$对称得到

正切函数可以通过将定义域限制在区间$(-\pi /2,\pi /2)$上使其变为单射函数

• 反正切函数定义为$f(x)=\tan x$，$-\pi /2<x<\pi /2$的反函数，记作$\tan^{-1}$或$\arctan$

$$\tan^{-1}x=y \iff \tan y=x \text{,}\;-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$$

• 反正切函数$\tan^{-1}=\arctan$具有定义域$\mathbb{R}$和值域$(-\pi /2,\pi /2)$，图像从限制的正切函数图像关于直线$y =x$对称得到

直线$x=\pm\pi/2$是正切函数图像的垂直渐近线，$y=\pi/2$和$y=-\pi/2$

剩下的反三角函数不经常用到，简要概括如下：

⑪

$$\begin{array}{lcl} y=\csc^{-1}(\left| x \right|\ge 1)&\iff&\csc y=x\text{,}\;y\in(0,\pi/2]\cup(\pi,3\pi/2]\\\\ y=\sec^{-1}(\left| x \right|\ge 1)&\iff&\sec y=x\text{,}\;y\in[0,\pi/2)\cup[\pi,3\pi/2)\\\\ y=\cot^{-1}(x \in \mathbb{R})&\iff&\cot y=x\text{,}\;y\in(0,\pi) \end{array}$$

• 在$\csc^{-1}$和$\sec^{-1}$的定义中，$y$的区间的选择并不一致，有些作者在$\sec^{-1}$的定义中用$y\in[0,\pi/2)\cup(\pi/2,\pi]$

解题的基本原则

（这部分相当有用，因此尽可能少做删减）

没有什么确定的、快速的、可以保证成功的解题方法。然而，可以大体概括出解题过程的一些步骤，给出一些对部分题目可能有用的解题原理。这些步骤和原理仅仅是将常识做一些总结，是从 George Polya 的书 How To Solve It 改编来的。

① 理解题目

第一步是读题，确保已经清楚的理解了题目。问自己这样几个问题：

• 什么是未知的？

• 已经给出的量有哪些？

• 已知条件是什么？

对许多问题都有用的是：

• 画一个图，并在图中确定已知的和要求的量

通常必须的是：

• 引入恰当的符号

在选择代表未知量的符号时常用字母，比如$a$，$b$，$c$，$m$，$n$，$x$和$y$，但在有些情形下用英文词的第一个字母也很有帮助。比如，$V$表示体积，$t$表示时间。

② 思考一个计划

找到已知信息和未知量之间的联系将能够计算未知量，经常明确地问自己：“怎样才能将已知的联系到未知的?”是很有帮助的。

如果你无法立即看到一个关系，下面的思想将帮助你设计一个计划：

• 尝试找到一些熟悉的东西：将已知条件与自己先前掌握的知识联系起来，观察未知量并尝试回忆一个有类似未知量的比较熟悉的题目。

• 尝试看清模式：有些题目是通过看清某个模式出现才解决的。这个模式可以是几何的、数值的或代数的。如果在一个题目中看到了规律性或者重复性，也许就能够猜出解释这个的模式是什么并解决它。

• 用类推：努力去想一个类似的题目，一个熟悉的、相关的、但又比目前这个问题简单的题目。如果解决了这个熟悉的、简单的题目，可能会提供解决当前的这个难题需要的线索。比如，如果一个题目包含非常大的数值，可以先解一个数值小的类似的题目。或者，如果这个题目是三维几何，可以先解一个二维几何的类似题目。再或者，如果开始是一个一般情形的问题，可以先解一个特殊情形的。

• 引入额外的东西：有时必须引入一些新的东西、一个辅助的东西来帮助建立已知和未知之间的联系。比如说，如果在一个题目里，图形起着核心作用的，辅助工具就是画在图里的一条新的线。在更代数一点的题目里，辅助工具可能是一个与原来未知量相关的一个新的未知量。

• 分情况：经常需要把一个题目分几种情形，对每一种情形进行不同的讨论。比如，在遇到绝对值问题的时候就需要这个策略。

• 反向操作：有时候可以假设问题已经解决了，反向一步一步操作，直到到达已知数据。然后就可以颠倒步骤，以得到一个初始问题的解法。这种手法普遍用在解方程问题中。比如，在解方程$3x-5=7$时，假设$x$是一个满足$3x-5=7$的数然后反向操作。在方程两边同时加上5，然后再在方程两边同时除以3得到$x=4$。因为每一步都是可以颠倒的，就解决这个问题了。

• 设立子目标：在一些复杂问题中设立子目标（想要的情形在那里只能部分满足）经常很有用。如果能首先达到这个目标，就可以在它的基础上到达最终的目标。

• 间接推理：有时候间接的处理问题是合适的。在用反证法证明$P$蕴含$Q$时，假设$P$为真而$Q$为假，然后说明为什么这种情况不可能发生。从这些信息出发，必须设法得到一个结论，使得它与绝对肯定其正确性的事实相矛盾。

• 数学归纳法：在解决包含正整数$n$的题目时，下面的法则经常很有用：

数学归纳法 令$S_n$为与正整数$n$有关的陈述。

假设

1. $S_1$为真。

2. 只要$S_k$真$S_{k+1}$就真。

则对所有的正整数$n$，$S_n$真。

这个之所以合理是因为，既然$S_1$真，由条件2(令$k=1$)知$S_2$必为真。然后当$k=2$时用条件2，我们看到$S_3$为真。再用条件2，这次$k=3$，有$S_4$为真。这个过程可以无限的延续下去。

③ 实施计划

计划在第二步中制定好了。在实施计划的时候我们必须检查每一步，写出能证明这一步的正确性的细节。

④ 回顾

问题解完之后，回顾一下是很有必要的。一方面在解的过程中有没有出错，另一方面想想有没有更简单的解决方法。还有一个回顾的原因是，它可以让人对这个解题方法更熟悉，也许对解决以后的问题有帮助。笛卡儿说：“我解过的每一个问题都成为为后来解决其他问题服务的规则。”

第2章 极限与导数

2.1 切线与速度问题

切线问题

曲线的切线是一条与曲线相碰的直线。换言之，切线和曲线在相碰的点处应该有相同的方向。那么这样一个想法如何严格化呢?

• 对于一个圆，可以直接地沿用欧几里得的描述方法，即切线是一条与这个圆相交一次且只有一次的直线。

• 对于更复杂的曲线，这个定义显然不再适用。

更具体地考虑，以求抛物线$y=x^2$过点$P(1,1)$的切线方程：

• 需要两个点才能求出斜率，因此可以在抛物线上选取邻近$P$的点$Q(x,x^2)$，用割线$PQ$的斜率$m_{PQ}$作为切线斜率$m$的近似。

• 取$x\ne1$，所以$Q\ne P$，得到$m_{PQ}=\frac{x^2-1}{x-1}$

• $Q$越接近$P$，$x$越接近1，$m_{PQ}$的值越接近2，这表明切线$t$的斜率应当是$m=2$

切线的斜率是这些割线斜率的极限，用下面的符号表示为：

$$\lim_{Q \to P}m_{PQ}=m\quad\text{即}\quad\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$$

速度问题

寻找“瞬时”速度的计算与寻找切线的计算非常相似，求速度与求切线是相同的。

2.2 函数的极限

使用下面的符号表示极限：

① 定义    符号

$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$

表示，“当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的极限等于$L$”

如果可以通过让$x$充分地接近$a$（在$a$的两边均可），但不等于$a$，使得到$f(x)$的值任意地接近$L$

• 概略地说，就是当$x$越来越接近$a$（在$a$的两边均可），但$x \ne a$时，$f(x)$的值就越来越接近$L$。更为严格的定义将在2.4节中给出。

另一种表达$\lim_{x \to a}f(x)=L$的符号是

$$\text{当}x \to a \text{，} f(x) \to L$$

• 通常读作“当$x$趋近$a$时，$f(x)$趋近$L$”

注意极限定义中的“$x=a$”这句话，这表示在求$x$趋于$a$时$f(x)$的极限时，从不考虑$x=a$。事实上，$f(x)$甚至无需在$x=a$时有定义。唯一重要的事是$f(x)$在$a$的附近是如何定义的。

单侧极限

Heaviside函数$H$定义为

$$H(t)=\begin{cases} 0\quad t<0 \\ 1\quad t \ge 0 \end{cases}$$

• 注意到，当$t$从左边趋于0时，$H(t)$趋于0，当$t$从右边趋于0时，$H(t)$趋于1，如果符号来表示这种情形，则有：

② 定义    如果$x$充分接近$a$且$x$小于$a$时，有$f(x)$任意地接近$L$，则称当$x$趋于$a$时$f(x)$的左极限（或$x$从左边趋于$a$时$f(x)$的极限）等于$L$，记为$\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$

类似地，如果要求$x$大于$a$，就得到“当$x$趋于$a$时$f(x)$的右极限等于$L$”，写作：

$$\lim_{x \to a^{+}}f(x)=L$$

• 因此，符号“$x \to a^{+}$”表示只考虑$x>a$

通过比较定义1和单边极限的定义，得到以下结论：

③

$$\text{当且仅当} \lim_{x \to a^{-}}f(x)=L \text{且} \lim_{x \to a^{+}}f(x)=L \text{时，}\lim_{x \to a}f(x)=L$$

无穷大极限

用符号$\infty$表示极限不存在的一种特殊情况：例如，通过让$x$和0充分靠近，可以使$1/x^2$变得任意大。

④ 定义    设$f$是一个函数，它在$a$的两边都有定义（$a$点本身可能除外），那么

$$\lim_{x \to a}f(x)=+\infty$$

表示当$x$充分地靠近但不等于$a$时，$f(x)$的值可以任意的大（要多大有多大）

• 另一种表示$\lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$的方法是：

$$\text{当} x \to a \text{时}\quad f(x) \to +\infty$$

• 同样的，符号$\infty$不是一个数，但是表达式$\lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$经常读作：

  • 当$x$趋于$a$时，$f(x)$的极限是无穷大

  • 当$x$趋于$a$时，$f(x)$变得无穷大

  • 当$x$趋于$a$时，$f(x)$无界地增长

一种相似的极限，对于那些在$x$接近$a$时变成绝对值很大的负数的函数，在定义5中定义：

⑤ 定义    设$f$是一个函数，它在$a$的两边都有定义（$a$点本身可能除外），那么

$$\lim_{x \to a}f(x)=-\infty$$

表示当$x$充分地靠近但不等于$a$时，$f(x)$的值可以是绝对值任意大的负数

• 符号$\lim\limits_{x \to a}f(x)=-\infty$可以读作：

  • 当$x$趋于$a$时，$f(x)$的极限是负无穷大

  • 当$x$趋于$a$时，$f(x)$无界地减少

类似的可以给出单边无穷极限的定义：

$$\begin{array}{ll} \lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=+\infty&\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=+\infty\\\\ \lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=-\infty&\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=-\infty \end{array}$$

⑥ 定义    直线$x=a$称为曲线$y=f(x)$的垂直渐近线，如果下面的条件至少有一个满足：

$$\begin{array}{lll} \lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty&\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=+\infty&\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=+\infty\\\\ \lim\limits_{x \to a}f(x)=-\infty&\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=-\infty&\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=-\infty \end{array}$$

通常来说，知道垂直渐近线在画草图时非常有用。

• 一个有垂直渐近线的例子是自然对数$y=\ln x$：

$$\lim_{x \to 0^{+}}\ln x=-\infty$$

• 因此直线$x=0$（即$y$轴）是一条垂直渐近线，对于$a>1$的函数$y=\log_ax$结论同样成立

2.3 利用极限运算法则求极限

计算器和图形并不总是能够得到正确的极限值，因此在这一节中使用以下极限的性质，称为极限法则，来计算极限：

极限法则    假设$c$是一个常数，极限$\lim\limits_{x \to a}f(x)$和$\lim\limits_{x \to a}g(x)$存在，那么

1. $\lim\limits_{x \to a}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x \to a}f(x) + \lim\limits_{x \to a}g(x)$

2. $\lim\limits_{x \to a}[f(x)-g(x)]=\lim\limits_{x \to a}f(x) - \lim\limits_{x \to a}g(x)$

3. $\lim\limits_{x \to a}[cf(x)]=c\lim\limits_{x \to a}f(x)$

4. $\lim\limits_{x \to a}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x \to a}f(x)\lim\limits_{x \to a}g(x)$

5. $\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x \to a}f(x)}{\lim\limits_{x \to a}g(x)}$ 设$\lim\limits_{x \to a}g(x)\ne0$

这五个法则可以口头上叙述为：

1. 和法则：和的极限等于极限的和。

2. 差法则：差的极限等于极限的差。

3. 常数乘积法则：常数与函数乘积的极限等于常数与函数极限的乘积。

4. 积法则：积的极限等于极限的积。

5. 商法则：商的极限等于极限的商（如果分母的极限不是0）

设$g(x)=f(x)$，然后反复地运用乘法法则，就能得到第六条法则-幂法则：

6. $\lim\limits_{x \to a}[f(x)]^n = [\lim\limits_{x \to a}f(x)]^n$ 其中$n$是正整数

为了应用这六个法则，还需要两个特殊的极限：

$$\begin{array}{cc} \text{7. }\lim\limits_{x \to a}c=c&\text{8. }\lim\limits_{x \to a^{+}}x=a \end{array}$$

在法则6中设定$f(x)=x$，运用法则8，就可以得到另一个有用的特殊极限：

$$\text{9. }\lim_{x \to a}x^n=a^n \text{，其中} n \text{是正整数}$$

一个相似的求根式的极限如下：

10. $\lim\limits_{x \to a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]a$ 其中$n$是正整数（如果$n$是偶数，假设$a>0$）

更一般地，有下面的法则：

11. $\lim\limits_{x \to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x \to a}f(x)}$ 其中$n$是正整数（如果$n$是偶数，假设$\lim\limits_{x \to a}f(x)>0$）

对于一些函数，直接替换总是可行的，将这个事实叙述如下

直接替换性质 如果$f$是一个多项式或有理函数，$a$在$f$的定义域里，那么

$$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$$

• 具有直接替换性质的函数称为在$a$处连续。

通过求左右两侧极限是计算某些极限最好的方法：

①    定理    当且仅当$\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L=\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)$时，$\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$